Научный журнал
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ.
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. 2021; 1: 27-37

 

http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2021-1-27-37

 

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА СЛУЧАЙНОЙ И ПСЕВДОСЛУЧАЙНОЙ СЕТКЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

Абас Висам Махди Абас, Р.В. Арутюнян

Абас Висам Махди Абас – аспирант, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: npi_pm@mail.ru

Арутюнян Роберт Владимирович – канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Вычислительная математика и математическая физика», Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, г. Москва, Россия. E-mail: rob57@mail.ru

 

 

Аннотация

Рассматривается подход на основе метода случайных кубатур для решения как одно-, так и многомерных сингулярных интегральных уравнений, уравнений Вольтерра и Фредгольма 1 рода, для некорректных задач теории интегральных уравнений и т.д. Изучен вариант квази-Монте-Карло для рассматриваемого метода. Интеграл в интегральном уравнении приближенно вычисляется при помощи традиционной схемы вычисления интегралов методом Монте-Карло. Применяется многомерная интерполяция на произвольном множестве точек. Рассмотрены примеры применения метода к одномерному интегральному уравнению с гладким ядром с использованием как случайных, так и низкодисперсных псевдослучайных узлов. Решено с помощью метода Ньютона многомерное линейное интегральное уравнение с полиномиальным ядром, многомерная нелинейная задача – интегральное уравнение Гаммерштейна. Показано существование нескольких решений. Рассмотрены многомерные интегральные уравнения первого рода и их решение с использованием регуляризации. Решение методами Монте-Карло и квази-Монте-Карло подобных задач в изученной литературе не проводилось. Был использован метод регуляризации Лаврентьева, а также случайные и псевдослучайные узлы, полученные при помощи последовательности Хальтона. Решена проблема собственных значений. Установлено, лучшим из рассмотренных методов является метод Леверье–Фаддеева. Результаты решения задачи для различного числа квадратурных узлов представлены в таблице. Исследован подход на основе параметрической регуляризации ядра, интерполяционно-проекционный метод, усредненные адаптивные плотности. Решены пространственные краевые задачи Дирихле для уравнения Лапласа для шаровой и тороидальной областей.

Рассматриваемые подходы позволяют расширить круг задач теории интегральных уравнений, решаемых методами Монте-Карло и квази-Монте-Карло, поскольку отсутствуют ограничения на величину нормы интегрального оператора. Рассмотрена серия примеров, демонстрирующих степень эффективности исследуемого метода.

 

Ключевые слова: интегральные уравнения; высокая размерность; метод Монте-Карло.

 

Полный текст: [in elibrary.ru]

 

Ссылки на литературу

  1. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике (вводный курс). СПб.: Изд-во Бином. 2011. 192 с.
  2. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю., Кореневский М.Л. Комбинированный метод решения интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. № 1. 1998. С. 1 – 40.
  3. Сипин А.С. Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных: автореф. дис.  д-ра физ.-мат. наук. СПб., 2016. 32 с.
  4. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Метод численного решения интегральных уравнений на случайной сетке // Диф. уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С. 333 – 341.
  5. Берковский Н.А. Модернизация полустатистического метода численного решения интегральных уравнений: автореф. дис.  канд. физ.-мат. наук. СПб., 2006. 15 с. 
  6. Кореневский М.Л. Разработка адаптивно-статистических методов вычисления определенных интегралов: дис. … канд. физ.-мат. наук. СПб., 2000. 161 с.
  7. Скорикова О.В. Сильная равномерная распределенность системы функций Ван дер Корпута-Хеммерсли // Изв. Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 91 – 102.   
  8. Антонов А.А., Ермаков С.М. Эмпирическая оценка погрешности интегрирования методом квази-Монте-Карло // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2014. Т.1, вып. 1. С. 3 – 11.
  9. Антонов А.А. Алгоритм численного интегрирования методом квази Монте-Карло с апостериорной оценкой погрешности // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2015. Т.2, вып. 1. С. 3 – 11.
  10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1973. 832 с.
  11. Стоянцев В.Т. Решение задачи Коши для параболического уравнения методом квази-Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и математической физики. 1973. Т.13, № 5. С. 1153 – 1160.
  12. Стоянцев В.Т.Решение задачи Дирихле методом квази-Монте-Карло // УМН. 1975. Т.30, № 1(181). С. 263 – 264.
  13. Некрасов С.А., Ткачев А.Н. Теория вероятностей и ее приложения: учеб. пособие. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. 148 с.
  14. Некрасов С.А. Методы ускоренного статистического моделирования и их применение в электротехнических задачах / Изв. вузов. Электромеханика. 2008. № 5. С. 13 – 19.
  15. Некрасов С.А. Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло / NovaInfo.Ru (эл. журн.). 2016. № 53. 
  16. Некрасов С.А. Решение n-мерного уравнения Шредингера методом интегральных уравнений на псевдослучайной сетке // NovaInfo.Ru (эл. журн.). 2016. № 55.